Dzimis 1948.gada 1.februārī Ļeņingradā. Pēc vecāku pārcelšanās uz dzīvi Latvijā, 1955.gadā sācis skolas gaitas Liepājā, bet 1975.gadā beidzis Rīgas Elektromehānisko tehnikumu. No 1978.gada Grezins strādāja par elektriķi uz Rīgas Traleru flotes bāzes kuģiem. 1982. - 1983.gadā sarakstīja virkni dzejoļu, kuros aprakstītas tā laika dzīves problēmas Padomju Savienībā. 1983.gada martā Grezins dzejoļus no Tenerifes ostas mēģināja nosūtīt “Radio Brīvība” krievu redakcijai Minhenē. Viņa vēstuli pārtvēra un autoru “izskaitļoja”.

1983.gada 29.augustā pret Borisu Grezinu ierosināja krimināllietu un tajā pašā dienā viņa dzīvoklī veica kratīšanu. Grezins tika arestēts reisa laikā.

1983.gada novembrī viņu tiesāja Latvijas PSR Augstākā tiesa un piesprieda ieslodzījumu uz četriem gadiem. Sākumā Grezins sodu izcieta nometnē Permas apgabalā, taču 1985.gada aprīlī par “sistemātiskiem režīma pārkāpumiem”, “nepakļaušanos administrācijas likumīgajām prasībām” un “nestāšanos uz labošanās ceļa” tika pārvests uz Čistopoles cietumu.

1987.gada februārī apžēlots un atbrīvots no ieslodzījuma. 80.gadu beigās Grezins izceļoja uz ASV.