Dmitrijs Godickis-Cvirko ir dzimis Ivana Godicka-Cvirko ģimenē, kas bijis pazīstams pedagogs.

1919. gadā Dmitrijs Godickis-Cvirko saņēma atestātu par Libavas (Liepājas) Pasniedzēju biedrības vīriešu ģimnāzijas absolvēšanu. Par nākamo posmu viņa dzīvē kļuva studijas Latvijas Universitātes Inženieru fakultātē. Šīs studijas bija ieilgušas gan materiālo problēmu dēļ, gan arī aizraušanās ar glezniecību dēļ. Tikai 1934. gada 12. janvārī Godickim-Cvirko tika pasniegts diploms par pilna kursa pabeigšanu un piešķirts būvinženiera nosaukums.

Dmitrijs Godickis-Cvirko bija krievu studentu korporācijas «Fraternitas Arctica» filistrs.

Tajā pat gadā Godickis-Cvirko tika uzņemts Latvijas Mākslas akadēmijā. Studijas Akadēmijā viņš apvienoja ar inženiera darbu Ķeguma HES būvniecībā.

1934. gadā Godickim-Cvirko tika piešķirta Kultūras Fonda stipendija uz 8 mēnešu termiņu, par kopējo summu 200 latu, kā aizņēmums, kuru ir jāatgriež. Topošais mākslinieks strādāja profesora Vilhelma Purvīša darbnīcā.

1940. gadā Dmitrijam Godickim-Cvirko bija jāuzrāda diplomdarbs. Diplomdarbu atļāva sagatavot ārpus Latvijas Mākslas akadēmijas sienām, pēc dzīves vietas – Ķegumā. 1940. gada 26. oktobrī mākslas darbam “Ķegums” tika vienbalsīgi piešķirts atestāts, bet tas netika ieskaitīts kā diplomdarbs. Diplomdarba prezentācijas termiņi dažas reizes tika pārnesti. Beidzot, 1942. gada 17. jūlijā Godickim-Cvirko tika piešķirts mākslinieka nosaukums par mākslas darbu “Atkusnis”.

Gleznotājs Dmitrijs Godickis-Cvirko gleznojis ainavas, portretus, figurālās kompozīcijas. Kopš 1935. gada viņš piedalījās izstādēs. Latvijā viņš pēdējo reizi bija piedalījies krievu gleznotāju izstādē, kuru Rīgas pilsētas Mākslas muzejā rīkoja Krievu komiteja par labu evakuētajiem no vācu okupētajam teritorijām (1944. g.).

1944. gadā mākslinieks dodas trimdā un apmetās uz dzīvi Dānijā.  1948.-1949. gadā Kopenhāgenā viņš studēja freskas mākslu un grafiskās mākslas. Personālizstādes notika Kopenhagenā (1949. g., eksponēti 62 mākslas darbi), Romā (1965. g., eksponēti 45 mākslas darbi), daudzos citos Dānijas muzejos un galerijās.

Dzīvesbiedre: Marija Godicka-Cvirko (dzim. Pokrovska), dzimusi 1904. gada 23. augustā Smoļenskā (Krievijā). Latvijā strādājusi par aptiekāra palīdzi.