Dzimis Vilces pag., miris Jelgavā. Diplomāta un vēsturnieka Alfrēda Bīlmaņa brālēna dēls.

1949.gadā pēc 2.pasaules kara beigu bēgļu gaitām ieceļojis ASV, kur neskatoties uz grūtibām ieguvis augstāko izglītību eksaktajā jomā.Strādājis ASV militārajā flotē kā matemātiķis.

Savas mātes Elzas Bīlmanes 100.dzimšanas dienā atgriezies Latvijā.  Šeit atguvis radinieku mājas - Vilces pagasta "Raudziņus", kas bijušas uz sabrukuma robežas. Dzīvojamā māja atjaunota, pagrabs tur esot no 1874.gada.  No kādreizējā Degoles kroga vietas uz Raudziņiem lzveidojis ceļu, kāds tur neesot bijis.

No 2003.gada  Raudziņos atrodas publiska privātbibliotēka (Ceroņa bibliotēka). Te galvenokārt ir literatūra angļu valodā - filozofiska un reliģiska satura darbi.

Aktīvi piedalījies sabiedriskā dzīvē Latvijā, nodibinājis Dr.Alfrēda Bīlmaņa piemiņas fondu, kuru finansējis, veicis dāvinājumus skolām u.c.

Testamentā atstātie līdzekļi izglītībai ļauj 15 gadu garumā pieškirt C.Bīlmaņa piemiņas  fonda stipendiju studijām Latvijas Universitātē.

Ir ziņas, ka Ceroņa un Mildas Bīlmaņu (01.06.1914-06.11.1995) urnas apglabātas Pociema kapos