Stefan Banach (1892-1945) est un mathématicien polonais. Il est l'un des fondateurs de l'analyse fonctionnelle. On a donné son nom aux espaces de Banach.

Stefan Banach est né en 1892 à Ostrowsko, au sud de Cracovie, alors territoire de l'Empire autrichien. Son père, Stefan Greczek, était un montagnard engagé dans l'armée et sa mère, Katarzyna Banach, était également des montagnes. Il a été élevé dans une famille adoptive par Franciszka Płowa, blanchisseuse, et sa fille, Maria Puchalska. Il a effectué sa scolarité à Cracovie, puis est allé poursuivre ses études universitaires à Léopol (Ukraine actuelle) de 1910 à 1914.

Pendant la guerre, il est réformé, travaille à la construction de routes et suit les cours de mathématiques à l'université jagellonne de Cracovie. En 1916, traversant un parc de Cracovie, Hugo Steinhaus entend prononcer les mots « mesure de Lebesgue » ; c'est ainsi qu'il fit la connaissance de deux jeunes mathématiciens Otto Nikodým et Stefan Banach. Ce fut le début d'une fructueuse collaboration.

En 1919, à l'initiative de Steinhaus, est créée la Société mathématique de Cracovie, transformée en 1920 en Société mathématique de Pologne. Banach y fait de nombreuses communications. En 1920, il devient assistant de Łomnicki à l'École polytechnique de Lwów où il présente sa thèse et en 1922, passe son habilitation. Il est nommé professeur en 1924.

En 1929, avec Steinhaus, il crée la revue Studia Mathematica, consacrée à l'analyse fonctionnelle, et fonde l'école mathématique de Lwów. En 1931 commence une série de publications sous le titre de Mathematical Monographs ; la direction est assurée par Banach et Steinhaus à Lwów ainsi que par Kuratowski, Mazurkiewicz, et Sierpiński à Varsovie.

En 1939, il est élu président de la Société mathématique de Pologne.

La Seconde Guerre mondiale fut une période de difficultés avec les occupations soviétique puis nazie. Il put cependant rencontrer Sergueï Sobolev et Pavel Aleksandrov en 1940.

Malade, Banach meurt en 1945 à Lviv.

Travaux

Il est l'un des fondateurs de l'analyse fonctionnelle. La théorie généralise les contributions de Volterra, Fredholm et Hilbert sur les équations intégrales.

Pour résoudre ces problèmes, il a approfondi la théorie des espaces vectoriels topologiques. Dans sa thèse en 1920, il donne la définition des espaces de type (B) que nous appelons aujourd'hui espaces de Banach (les mathématiciens ayant accepté le nom proposé par Fréchet).

Plusieurs de ses théorèmes portent son nom :

• le théorème de Hahn-Banach (1927) sur l'extension d'une forme linéaire non-nécessairement continue définie sur un sous-espace d'un espace vectoriel à l'espace tout entier ;
• le théorème de Banach-Steinhaus (1927) sur les familles d'applications linéaires continues bornées, conséquence très importante de la propriété de Baire ;
• le théorème de Banach-Alaoğlu, traitant de compacité ;
• le théorème de Banach-Schauder (ou encore théorème de l'application ouverte).

Banach a étudié les algèbres dites aujourd'hui de Banach.

Son livre Théorie des opérations linéaires (Teoria operacji liniowych, 1932) expose une synthèse de son travail.

Ses autres travaux touchent à la théorie de la mesure de l'intégration, de la théorie des ensembles et des séries orthogonales.

Il est à l'origine, avec Alfred Tarski, du paradoxe de Banach-Tarski qui par la simplicité apparente de son énoncé et l'étrangeté de sa conclusion, souligne les difficultés de compréhension qui se cachent dans la notion de parties non mesurables de ℝ3. Ces difficultés sont aussi intimement attachées à l'axiome du choix, outil de base de la démonstration.

Depuis 1992, année du centenaire de sa naissance, l'Académie polonaise des sciences attribue la médaille Stefan Banach en son honneur.

Un prix Stefan-Banach est attribué par la Société mathématique de Pologne à des mathématiciens polonais