Felix Christian Klein (25 avril 1849 à Düsseldorf – 22 juin 1925 à Göttingen) est un mathématicien allemand, connu pour ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne, et en analyse. Il a aussi énoncé le très influent programme d'Erlangen, qui ramène l'étude des différentes géométries à celle de leurs groupes de symétrie respectifs.

Biographie

Les parents de Klein sont prussiens ; son père était fonctionnaire en Rhénanie prussienne. Felix est élève du lycée de Düsseldorf, puis, en 1865, étudie les mathématiques et la physique à l'université de Bonn dans l'intention de devenir physicien. À ce moment, Julius Plücker est nommé à la chaire de mathématiques et de physique expérimentale à Bonn. Felix devient son assistant en 1866, à un moment où Plücker s'intéresse de près à la géométrie. Sous la direction de Plücker, il passe son doctorat en 1868, sous la direction de Plücker et Lipschitz.

Plücker meurt la même année, laissant derrière lui un livre inachevé, Neue Geometrie des Raumes, sur la géométrie des droites projectives (voir coordonnées plückeriennes). Klein est la personne la mieux placée pour compléter la seconde partie. Il quitte donc Bonn pour Göttingen afin de travailler avec Alfred Clebsch. En juillet 1870, il se trouve à Paris. La guerre franco-allemande l'oblige à retourner en Allemagne ; il sert un temps dans l'armée prussienne avant d'être nommé lecteur à Göttingen en 1871.

En 1872, à l'âge de 23 ans, Klein est nommé professeur à Erlangen grâce à l'aide providentielle de Clebsch, qui voit en lui l'un des futurs plus grands mathématiciens de son temps. Trop peu d'étudiants se trouvant à Erlangen, il est heureux de se voir offrir une chaire à la Technische Hochschule de Munich en 1875. Il y enseigne les mathématiques à Adolf Hurwitz, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi et Gregorio Ricci-Curbastro. C'est aussi en 1875 que Klein épouse Anne Hegel, la petite-fille du philosophe Hegel.

Cinq ans plus tard, en 1880, Klein obtient une chaire de géométrie à l'université de Leipzig. Ces années à Leipzig sont marquées par une dégradation de sa santé. De 1883 à 1884, il souffre de dépression.

Sa carrière de mathématicien étant derrière lui, il accepte une chaire à l'université de Göttingen en 1886 ; il y restera jusqu'à sa retraite en 1913. Il dispense divers cours, la plupart à la frontière des mathématiques et de la physique, comme des cours de mécanique ou de théorie du potentiel. Il souhaitait rétablir Göttingen comme premier centre mondial de recherche mathématique. S'il n'y parvint pas, la formule qu'il initia, avec réunions de discussion hebdomadaires, salle de lecture et bibliothèque de mathématiques, a servi de modèle aux meilleurs centres de recherches.

Sous la direction de Klein, les Mathematische Annalen deviennent un des journaux de mathématiques les plus connus du monde. Fondé par Clebsch, ce journal rivalise puis surpasse le Journal de Crelle. Klein a mis en place une petite équipe de rédacteurs qui se réunissent régulièrement pour prendre des décisions démocratiques. Le journal se spécialise dans l'analyse complexe et la géométrie algébrique. Il publie aussi sur l'analyse réelle et la théorie naissante des groupes.

Grâce en partie aux efforts de Klein, les femmes sont admises comme étudiantes à Göttingen à partir de 1893. Il supervise lui-même la première thèse soutenue en Allemagne par une femme, l'anglaise Grace Chisholm Young, une étudiante d'Arthur Cayley.

À partir de 1900, Klein s'intéresse à l'apprentissage des mathématiques dans les écoles. En 1905, il recommande d'enseigner la représentation dans l'espace et les rudiments du calcul intégral et différentiel dès le secondaire. Cette recommandation est progressivement appliquée dans de nombreux pays à travers le monde. Il s'est engagé également dans la didactique des mathématiques.

Klein est élu membre de la Royal Society en 1885. La Société mathématique de Londres lui décerne la médaille De Morgan en 1893. Il est lauréat de la médaille Copley en 1912. Il prend sa retraite l'année suivante en raison d'une mauvaise santé, mais continue à donner des cours particuliers de mathématiques pendant quelques années.

Klein a eu de nombreux étudiants thèse : Ludwig Bieberbach, Maxime Bôcher, Oskar Bolza, Frank Nelson Cole, Henry Fine, Erwin Freundlich, Robert Fricke, Philipp Furtwängler, Axel Harnack, Adolf Hurwitz, Edward Kasner, Ferdinand von Lindemann, Alexander Ostrowski, Erwin Papperitz, Karl Rohn, Hermann Rothe, Virgil Snyder, Otto Staude, Anton Aloys Timpe, William Edward Story, Edward Burr Van Vleck, Henry Seely White, Alexander Witting, Grace Chisholm Young, Walther von Dyck…

Travaux

Sophus Lie présente à Klein le concept de groupes, qu'il a aussi étudié aux côtés de Camille Jordan. Les premières découvertes importantes de Klein datent de 1870. En collaboration avec Lie, il étudie les propriétés fondamentales des lignes asymptotiques sur la surface de Kummer. Ils en viennent à s'intéresser à des courbes invariantes sous un groupe de transformations projectives.

En 1871, alors à Göttingen, Klein fait d'importantes découvertes en géométrie. Il publie deux articles, dont On the So-called Non-Euclidian Geometry, plaçant les géométries euclidiennes et non euclidennes sur un même plan, et mettant un terme à la controverse autour de la géométrie non euclidienne.

La synthèse de Klein de la géométrie comme étude des invariants sous un groupe de transformations donné, connue sous le nom de programme d'Erlangen (1872), influença profondément l'évolution de la géométrie et des mathématiques dans leur ensemble. Ce programme était le cours inaugural de Klein comme professeur à Erlangen. Il propose une vision unifiée de la géométrie. Klein décrit en détail comment les propriétés centrales d'une géométrie donnée se traduisent par l'action d'un groupe de transformations.

Aujourd'hui, cette vision est devenue tellement banale dans l'esprit des mathématiciens qu'il est difficile de juger de son importance, d'apprécier sa nouveauté et de comprendre l'opposition à laquelle elle a dû faire face.